第十一章 结构稳定分析
S11-3 无限自由度体系临界荷载（静力法）
用静力法求无限自由度体系分支点失稳的临界荷载，是从丧失稳定时平衡形式将发生质变这一特征出发，首先假定体系已处于新的平衡形式，据此建立其平衡微分方程，然后求出微分方程的通解，进而利用边界条件去确定临界荷载。
一、等截面压杆
现以图11-9a所示一端固定另一端饺支的直杆稳定问题为例，说明静力法的原理和计算步骤。当荷载F，达到临界值时，平衡形式将发生质变。设该杆已处于图示新的曲线平衡形式式（11-3）及其展开式（11-4）即为稳定方程。据此求出/后，可由式（11-l）求得临界荷对于式（11-4）这类超越方程，可采用图解法或试算法求解。采用图解法时，以nl作为自变量，绘出z1=n/和22=tan nl的函数图形（图11-10），由式（11-4）可知，z和z，的第一个交点的横坐标nl=4.493即为稳定方程的最小根。将此值代入式（11-1），即可求出临界荷载为试算通常采用数值计算，例如弦截法。首先将式（l1f(x）=tan nl-nl=0(x=nl)(b)
用试算找出方程（b）的最小根所在区间，然后以此区间函数曲线的弦线与x轴的交点作为式（b)的近似解，经过几次反复计算，即可求得具有较好精度的解，其具体方法参见大学数学中的相关内容。
现对静力法计算临界荷载的主要步骤归纳如下：
（1)根据体系发生变形后的状态（中性平衡状态），列出其平衡微分方程。对于杆端受压力Fp作用的等截面理想轴压杆，不论其两端为何种支承，其平衡微分方程的形式均可写成
y"+n2y=f(x)
式中n2=Fp/EI，f(x)则随压杆的支承情况而定。
（2）求出微分方程的通解。对于式（11-5)所示的二阶常系数线性非齐次微分方程，其通解
（3）利用边界条件，导出稳定方程。
（4）解稳定方程，求出n/的最小根，进面由式11-）。片求出临界荷载。
【例11-2】图11-1la所示两端铰支的杆件，/,部分的刚度为无穷大，l，部分的刚度为El，试求此压杆的稳定方程。若已知/2=l1/3，求临界荷载。
解：设在新的曲线平衡状态下，刚体部分的倾角为。16取图示坐标系，则任一截面的弯矩（图l1-l1b)为
二、变截面压杆
对于工程中常见的两类变截面压杆，阶形压杆（图11-12b）通常用静力法分析，在解算截面沿杆长连续变化压杆（图11-12a)的稳定问题时，所得变系数的平衡微分方程求解较为复杂，实际计算时多采用能量法分析。
图11-13a示一直杆，其上部的刚度的EI，，下部的刚度为EI2。令y1、y2分别表示上部和下部各点在新的平衡形式下的水平位移（图11-13b)，这两部分的微分方程分别为
El1y%+Fpy1=Fp6
El2y2+Fpy2=Fpo
三、弹性支承压杆在稳定计算中，常把结构中杆端受压力作用的杆件单独取出，验算其局部的稳定性，此时与该杆相连的其他部分对它的约束作用就可用弹性支承来表示。例如图11-16a所示铰接排架，在中性平衡状态下它将发生图中实线所示的变形。压杆AB在B处发生位移时，将受到BI部分的约束，这种约束作用就相当于图11-16b所示B端的抗移弹性支座，其刚度系数k可图11-16c所示柱CD在顶端发生单位位移时所需之力r。求解，由表5-1,k=r0=3E1/3。
又如，对于图11-17a所示结构中的压杆AB，可将其转化为图11-17b所示的抗转弹性支压杆，其刚度系数k可利用结构剩余部分AC当A端发生单位转角时所需之力偶求得（图11-18所示为常见的具有弹性支承压杆的几种形式。已知E1一常数。现以该图第二种情况为例，说明用静力法求这类压杆临界荷载的方法。如图11-18b所示，在临界状态下，任一截面的弯矩为以上两式中k，代表弹性支承的转动刚度系数。
从上面还可以看出，稳定分析中的稳定方程、临界荷载和失稳形式与动力分析中的频率着程、自振频率和振型，因数学上同属由特征方程、特征值和特征向量构成的特征值问题，故面在意式上类似。
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