第三章 静定结构内力分析
$3-3 三铰拱
一、概述
拱结构是应用比较广泛的结构形式之一，除常用于桥梁建筑外，房屋建筑中的屋面承重结构用到拱结构（图3-20）。
拱结构的计算简图通常有三种，见图3-21。图3-21a和图3-21b所示无铰拱和两铰拱超静定的，图3-21c所示三铰拱是静定的。在本节中将只讨论三较拱的计算。
拱结构的特点是：杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产生水平反力。这种水平反力称为推力。拱结构与梁结构的区别不仅在于外形不同，更重要的还在于受竖向荷载作用时是产生水平推力。如图3-22所示的两个结构，虽然它们的杆轴都是曲线，但图3-22a所示结在竖向荷载作用下不产生水平推力，其弯矩与相应（同跨度、同荷载）简支梁的弯矩相同，所以种结构不是拱结构而是曲梁。图3-22b所示结构，由于其两端都有水平支座链杆，在竖向荷或作用下将产生水平推力，所以属于拱结构。由于水平推力的存在，拱中各截面的弯矩将比相应的曲梁或简支梁的弯矩要小，并且会使整个拱体主要承受压力。因此，共结构可用抗压强时A而抗拉强度较低的砖、石、混凝土等建筑材料来建造。
拱结构（图3-23a)最高的一点称为拱顶。三铰拱的中间铵通常是安置在拱顶处。排。端与支座联结处称为拱趾，或者称为拱脚。两拱趾在同一水平线上的拱称为平拱，否期服斜拱。两个拱趾间的水平距离1称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为我高，或装拱矢。拱高与跨度之比fl1称为高跨比或矢跨比。由后面的分析可知，拱的主要力学性能跨比有关。用作屋面承重结构的三铰拱常在两支座铰之间设置水平拉杆。这样，拉杆内的拉力代替了座推力的作用，在竖向荷载作用下，支座只产生坚反力。但是，这种结构的内部受力情况与三铰拱完全相同，故称为具有拉杆的拱，或者简称为拉杆拱。它的优点在于消除了推力对支承结构（例如砖墙）的影响。图3-20所示的装配式钢筋混凝土三铰拱就是拉杆拱的实例。设置吊开是为了减少拉杆的挠度，在分析拱的内力时可以不考虑。带拉杆三铰拱的计算简图如图3-2%所示。
二、三较拱的计算
三铰拱为静定结构，其全部反力和内力都可由静力平衡方程算出。为了说明三铰拱的计算方法，现以图3-24a所示在竖向荷载作用下的平拱为例，导出其计算公式。
1.支座反力的计算公式
三铰拱的两端都是铰支座，因此有四个未知反力，故需列四个平衡方程进行解算。除了三载拱整体平衡的三个方程之外，还可利用中间铰处不能抵抗弯矩的特性（即弯矩M。=0）来建立一个补充方程。
首先考虑三铰拱的整体平衡，由2Mn=0，有
Fl-Fnb,-Fnb2-Fob,=0
可得左支座竖向反力
同理，由2M。=0可得右支座竖向反力
由2F，=0，可知
FA.=FIm=Fu
再考虑M。=0的条件，取左半拱上所有外力对C点的力矩来计算，则由2Mc=0，有
Fo号-Fn(务-a1)-Falf-a2)=FAuf=0
所以
F0务-Fn 务-a1）-Fe（号-a2）
Fu=FA=Fa.=
式（a）和式（b）右边的值，恰好等于图3-24b所示相应简支梁的支座反力F%，和F%。式（c）右边的分子，等于相应简支梁上与拱的中间铰位置相对应的截面C的弯矩M2。由此可得
F.=F
F=F%（3-2）
F:=F.=F.=4c
由式（3-3）可知，推力Fl等于相应简支梁截面C的弯矩M2除以拱高f。其值与荷载及三个较的位置有关，而与各饺间的拱轴形状无关。当荷载和拱的跨度不变时，推力F，将与拱高/成反比。
2.因力的市异公式计算内力时，应注意到拱轴为曲线这一特点，所取截面应与拱轴正交，即与拱轴的切线相垂直（图3-25a）。任一截面K的位置取决于该截面形心的坐标xk、yx，以及该处拱轴切线的倾角x。 截面K的内力可以分解为弯矩Mk、剪力Fox和轴力Fux，其中Fox沿截面方向，即沿拱箱法线方向作用；轴力Fvx沿垂直于截面的方向，即沿拱轴切线方向作用。下面分别研究这些内力的计算。
（1)弯矩的计算公式
弯矩的符号规定以使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。取AK段为隔离体（图3-20由ZMk=0，有
FAerw-Fu(xg-a1)-F1ye-M=0得截面K的弯矩
Mc=[Fork-Fn(rx-a1)]-Fny
根据F。=F%，可见式中方括号内之值等于相应简支梁（图3-25c）截面K的弯矩M.，所以上式可改写为Mx=MG-F1yx即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应截面的弯矩减去由于拱的推力F，所引起的弯矩
Fayx。由此可知，因推力的存在，三铰拱中的弯矩比相应简支梁的弯矩小得多。
（2）剪力的计算公式
剪力的符号通常规定以使截面两侧的隔离体有顺时针方向转动趋势的为正，反之为负。取AK段为隔离体，将其上各力对截面K投影（图3-25b)，由平衡条件
Fox+Fncos gx+ Fusin gx -FA,cs gx=0
Fok=(FAo-Fn)cos x-Fusin gx
式中（FAN-Fm)等于相应简支梁在截面K处的剪力Fax，于是上式可改写为
Fok=Fak cos k -Fasin ge（3-5）
式中x为截面K处拱轴切线的倾角。
（3）轴力的计算公式
因拱体通常为受压，所以规定使截面受压的轴力为正，反之为负。取AK段为隔离体，将其上各力向垂直于截面K的方向上投影（图3-25b)，由平衡条件
FuK+Fnsin gx-FAysin gx-F:cos x=0
Fvk=(FAy-Fm)sin gx+ Fcos ex
FNk=F8ksin Px+ F1cos (3-6)
有了上述公式，则不难求得竖向荷载作用下任一截面的内力，从而作出三拱的内力图。若荷载不是竖向作用或三铰拱为斜拱，则式（3-1）式（3-6）并不适用，此时应根据平衡条件直接计算三较拱的反力和内力。
【例3-3】试绘制图3-26所示三铰拱的内力图。其拱轴为一抛物线，当坐标原点选在左支座时，拱轴方程由下式表达：
y=4-(7-x)
解：先求支座反力，根据式（3-l）、（3-2）、（3-3）可得反力求出后，即可根据式（3-4）、（3-5）、（3-6）计算内力。为此，将拱跨分成八等分，列表（表3-1）算出各截面上的M、Fo、Fu值，然后根据表中所得数值绘制M、F。、F图，如图
3-26c、d、e所示。这些内力图是以水平线为基线绘制的。图3-26b为相应简支梁的弯矩图。现以截面1（离左支座1.5m处)和截面2（离左支座3.0m处)的内力计算为例，对表3-1在截面1，有x=1.5m，由拱轴方程可求得
y，=￥x1（1-x1）=4答4m×1.5m×(12m-1.5m)=1.75m
截面1处的切线斜率为
tan 91=(x)=44(1-2x1)=4×4m×(12m-2×1.5m)=1
(12m)2
于是，可求出
sin 91=0.707,c0s o,=0.707
根据式（3-4)、（3-5)、（3-6）求得该截面的弯矩、剪力和轴力分别为
M1=M9-F:y1=105kN×1.5m-82.5kN×1.75m
=13.1kN·m
Fat=Far cos 91-Fusin g,=105 kN×0.707-82.5kN×0.707
=15.9kN
FN=F8 sin 91+Fucos 9,=105 kN×0.707+82.5kN×0.707
=132.5kN
在截面2因有集中荷载作用，该截面两边的剪力和轴力不相等，此处F。、F、图将发生突变。
现计算该截面内力如下
M2=M'-F1y2=105 kN×3m-82.5kN×3m
=67.5kN·m
Fhe =F& cos 2-Fusin g2=105 kN×0.832-82.5kN×0.555
F&=F&cos q2-Fusin 2=5.0kN×0.832-82.5 kN×0.555
=-41.6kN
Fkk=F告sin g2+Ficos 92=105 kN×0.555+82.5 kN×0.832
=126.9kN
F品=F&sin 9a+F1cos 92=5.0 kN×0.555+82.5 kN×0.832
=71.4kN
其他各截面内力的计算与以上类同。
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